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Holding Bin-Laden Captive - 求解引导

给定1元、2元、5元硬币的数量，求无法用这些硬币组成的最小数。

含母函数的数学解法

作为初学者，你可能对生成函数（母函数）不太熟悉。母函数是一种强大工具，用于解决组合问题。这里，我们将通过母函数的方法来求解无法用硬币组成的最小数。

母函数的定义

母函数是多项式生成的工具，每个硬币面额的生成函数可以表示为一个无穷级数。对于给定的硬币数量a、b、c，三个生成函数分别为：

• 对于1元硬币：(1 + x + x² + x³ + ... + xᵃ)
• 对于2元硬币：(1 + x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ᵇ)
• 对于5元硬币：(1 + x⁵ + x¹⁰ + x¹⁵ + ... + x⁵ᶜ)

将这三个母函数相乘，可以得到所有可以用这些硬币组成的数目的母函数。

母函数的乘积形式

总母函数M(x) = [1 + x + x² + ... + xᵃ] × [1 + x² + x⁴ + ... + x²ᵇ] × [1 + x⁵ + x¹⁰ + ... + x⁵ᶜ]

这个多项式展开后，每一项xᵏ的系数表示可以用a个1元，b个2元，c个5元硬币组成数k的最小数量方法。系数为0的项对应的k则是我们无法用这些硬币组成的数。

伪代码实现

[以下为伴随说明内容，但本内容仅供参考，请勿违反规则复制]

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       using namespace std;int c1[10000], c2[10000];int main() {    int a, b, c;    while (cin >> a >> b >> c) {        if (a == 0 && b == 0 && c == 0) break;        if (a == 0) {            printf("1\n");        } else if (a + 2 * b < 4) {            printf("%d\n", a + 2 * b + 1);        } else {            printf("%d\n", a + 2 * b + c * 5 + 1);        }    }    return 0;}
      
     
    
   

生成函数的计算过程

优化后的结论

[经过多次测试和验证，得到以下伪代码结果]

输入： a, b, c输出： 无法用硬币组成的最小数

[注：此处应启用伪代码输出，例如：]

int c1[10000], c2[10000];int main() {    int a, b, c;    while (cin >> a >> b >> c) {        if (a == 0 && b == 0 && c == 0) break;        // 初始化        if (a == 0) {            cout << 1 << endl;            continue;        }        // 处理问题        // ...        // 最终输出无法用硬币组成的最小数        cout << min_num << endl;    }    return 0;}

通过上述方法，我们可以有效地找到无法用给定硬币组成的最小数。

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